Non, il n'est pas possible de lui donner une branche de bois comme ça, c'est plein de microbes. Il me semble qu'il est possible de mettre la branche au four à je ne sais plus quelle température pour stériliser, mais je ne l'ai jamais fait donc je ne suis même pas sûre.
De toute façon, tu as des barreaux à la cage, il pourra s'y faire les dents. Tu lui donnes quoi à manger, aussi ?
Pour la mezzanine en bois, je te le déconseillerais, car il ne faut pas prendre n'importe quel bois... Je ne m'y connais pas assez en bricolage pour te conseiller là-dessus, par contre !